3 понятие функции - 2.3. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

Пусть даны два непустых множества. Соответствиекоторое каждому элементу сопоставляет один и только один элементназывается функцией и записывается. Говорят еще, что функция отображает множество на множество. Множество называется областью определения функции и обозначается. Множество всех называется множеством значений функции и обозначается.

Если элементами множеств и являются действительные числа то есть ито функцию называют числовой функцией, для краткости будем именовать их просто функциями и записывать. Переменная называется при этом аргументом или независимой переменной.

Относительно самих величин и говорят, что они находятся в функциональной зависимости. Чтобы задать функциюнеобходимо указать правило, позволяющее, знаянаходить соответствующее значение. Аналитический способ задания функции является наиболее совершенным, так как к нему приложены методы математического анализа, позволяющие полностью исследовать функцию.

Пусть функция определена на множестве. Точка — может принадлежать множествуможет и. Например, для множества — все точки являются предельными, включая издесь. Сформулируем два, эквивалентных между собой, определения предела функции в точке. Пусть функция определена на множестве и — предельная точка для множества.

www.damanirhodesplayalongs.com - Понятие функции. Способы задания функции

Число А называется пределом функции в точке или приесли для любой последовательности аргумента,сходящейся к точке т. В этом случае пишут или. Это определение коротко можно записать так: Число А называется пределом функции в точке или приесли для любого положительного найдется такое положительное числочто для всехудовлетворяющих неравенствувыполняется неравенство.

Геометрический смысл предела функции. Для любой -окрестности точки найдется такая -окрестность точкичто для всех из этой -окрестности соответствующие значения функции лежат в -окрестности точки. Иными словами, точки графика функции лежат внутри полосы ширинойограниченной прямыми. Очевидно, что величина зависит от выборапоэтому пишут. Тогда для данногочто, это значит что то естьтак.

Пусть функция определена в промежутке. Еслито пишутеслито —. Геометрический смысл этого определения таков: Сперва докажем, что если есть любая последовательность значений изсходящаяся кто есть то последовательность имеет предел, то есть существует некоторое число.

По условию теоремы имеем, что,. Берем произвольную последовательность, такую, что. Тогда, для данного числа существует номерчто. Так как придля любого тоже больше чем. Тогда в условиях теоремы, подбираяимеем, чтото есть фундаментальная последовательность, и следовательно имеет предел.

Теперь покажем, что для любой последовательностипредел последовательностикоторый существует, это одно и то же число. Так как тоно с другой стороны предел последовательности не существует, так как существуют две подпоследовательности. Арифметические действия над функциями, имеющими предел Пусть имеем функции икоторые определены на множествеи предельная точка множестваи пусть некоторое постоянное число, тогда если существует и.

Функция

Все эти свойства сводятся к соответствующим свойствам сходящихся последовательностей, если использовать определение по Гейне. Если через обозначить радианную меру углато эти неравенства перепишутся так:.

Пусть и так както имеем. По определению предела функции равенство означает: Например, — бесконечно малые. Классификация бесконечно малых функций. Пусть и две бесконечно малые функции.

Функция является бесконечно малой более высокого порядка причем. Например, функция есть б. Если при и принимает лишь положительные значения, то пишут ; если лишь отрицательные значения. Бесконечно большая функция. Функциязаданная на всей числовой прямой, называется бесконечно большой приесли для любого числа найдется такое числочто при всехудовлетворяющих неравенствувыполняется неравенство. Вопросы к экзамену по дифференциальной геометрии 4 семестр г 8.

Преимущества базы данных перед файловой организацией данных. Система управления базами данных: Физические основы динамики газов Обеспечение ремонта и технического обслуживания электрических сетей Опыт показывает, что многие школьники затрудняются в решении так называемых практико-ориентированных задач Физические величины, измеряемые в аэрогидромеханике и теплофизическом эксперименте.

Сбор и регистрация данных. Булевы функции, канонические формы задания булевых функций. Все одномерные методы поиска, используемые на практике, основаны на предположении, что исследуемая функция в допустимой области по крайней мере обладает свойством унимодальности Речевой аппарат, его устройство и функции отдельных частей Теория колебаний и устойчивости движения Уравнения Лагранжа второго рода для голономных и неголономных систем.

Потенциальные, гироскопические и диссипативные силы. Понятие функции Одним из основных математических понятий является понятие функции. Понятие функции связано с установлением зависимости между элементами двух множеств.

Наиболее часто встречаются три способа задания функции: Например, известные таблицы значений тригонометрических функций, логарифмические таблицы. Предел функции Пусть функция определена на множестве. Точка — называется предельной точкой множества или точкой сгущения множестваесли в любой окрестности существует точка из множестваотличная от ит. Отрицание определения 1 по Гейне.

Функция

Отрицание определения 2 по Коши. Определение 1 и 2 эквивалентны. Докажем сперва, что из определения 1 следует определение 2. Доказательство проведем от противного: Пустьи как было уже отмечено. Из условиячто. Мы построили последовательностькоторая не равнаачто противоречит определению Гейне.

Пусть имеет место определение Коши, докажем, что имеет место определение по Гейне. Возьмем любую последовательность итогда для по которому подберем некоторое число. Возьмем данное число Так както для данного можно найти такой номерчто Если длятогда по определению Коши. Итак, мы нашли такой номерчточто выполняется определение по Гейне. Еслитогда окрестностьчто и. Число А называется пределом функции приесли для любого положительного числа найдется такое числочто при всехудовлетворяющих неравенствувыполняется неравенство.

Необходимое и достаточное условие коши для существования предела Теорема. Для того чтобы функция при имела конечный предел, то естьнеобходимо и достаточно, чтобы для что длякоторые находятся в проколотой окрестности точки то есть и.

Пусть существует конечный предел. Тогда, длячто. Пусть условие, сформулированное в теореме, выполнено, и по произвольно взятому установлено соответствующеетакое, что выполняется условие теоремы.

Пусть это не так, то есть существуют хотя бы две последовательности: Арифметические действия над функциями, имеющими предел Пусть имеем функции икоторые определены на множествеи предельная точка множестваи пусть некоторое постоянное число, тогда если существует ито 1 ; 2 ; 3 ; 4 если. Рассмотрим окружность радиуса R. Если то сравнивая площади двух треугольников и сектора имеем: Если через обозначить радианную меру углато эти неравенства перепишутся так: Тогда имеемтак как обе части данного неравенства прито существует.

Бесконечно малые и бесконечно большие функции их классификация Бесконечно малые функции Определение. Функция называется бесконечно малой при в точке. Функции и называются бесконечно малыми одного порядка приесли. Функции и называются эквивалентными бесконечно малыми при.

При вычислении пределов часто используется следующая таблица эквивалентных функций:


Похожее ...

Комментарии (1)